0. 수업 목표
지식/이해
- 현 오차를 기하+근사로 유도
- 연쇄법칙으로 $u$ 업데이트 연결
- 곡률반경과 허용속도 관계
과정/기능
- 실험 → 모델링 → 시뮬레이션
- 조건 맞춤 → 검증 → 수식화
태도/가치
"정밀도"는 무조건 최대가 아니라 비용과의 최적화임을 체감
1. 차시별 지도안 (4차시)
| 차시 | 주제 | 핵심 활동 |
|---|---|---|
| 1 | 실험 & 관찰 | 인간 CNC 실험 (정n각형 그리기) |
| 2 | 단순화 & 시뮬 | NURBS 개념, GeoGebra 오차 측정 |
| 3 | 수식화 1 | 현 오차 증명, 곡선 길이 적분 |
| 4 | 수식화 2 | 테일러 보간, 속도/저크 제한 |
2. 현 오차 (Chord Error) 유도
정확식 (기하)
곡률반경 $R$인 원호를 길이 $L$인 현으로 근사할 때:
$$ e = R - \sqrt{R^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2} = R\left(1 - \sqrt{1 - \frac{L^2}{4R^2}}\right)
$$
근사식 (테일러)
$x = \frac{L^2}{4R^2} \ll 1$일 때 $\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$를 사용:
$$ \boxed{e \approx \frac{L^2}{8R}} $$
공학 변수 연결
한 보간 주기 $T$ 동안 속력 $V_s$로 이동하면 $L \approx V_s T$:
$$ e \approx \frac{(V_s T)^2}{8R} $$
3. 실시간 $u$ 업데이트
연쇄법칙
속력 $V_s = \frac{ds}{dt}$, 곡선 길이 $\frac{ds}{du} = |C'(u)|$를 이용:
$$ V_s = |C'(u)| \frac{du}{dt} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{du}{dt} = \frac{V_s}{|C'(u)|}}
$$
테일러 전개 (2차)
$$ u_{k+1} = u_k + T \frac{du}{dt} + \frac{T^2}{2} \frac{d^2u}{dt^2} + O(T^3) $$
곡률반경
$$ \rho = \frac{|C'(u)|^3}{|C'(u) \times C''(u)|} $$
4. 속도 제한 법칙
현 오차 $e \le e_{max}$를 만족하려면:
$$ \boxed{V_s \le \frac{1}{T} \sqrt{8 \rho \cdot e_{max}}} $$
$\rho$가 작아지면(급커브) 속도를 줄여야 함
5. 저크 제한과 S-curve
저크 $J = \frac{da}{dt}$가 일정하면:
$$
a(t) = a_0 + Jt, \quad
v(t) = v_0 + a_0 t + \frac{1}{2}Jt^2, \quad
s(t) = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2}a_0 t^2 + \frac{1}{6}Jt^3
$$
S-shaped 가감속은 저크를 제한하여 진동을 줄이고 부드러운 운동을 만듭니다.
6. 평가 루브릭
| 요소 | 상 | 중 | 하 |
|---|---|---|---|
| 수학적 모델링 | 정확→근사→오차항 해석 | 근사식 유도 | 식 단편 적용 |
| 시뮬레이션 검증 | $1/n^2$ 경향 확인 | 경향 관찰 | 실행만 |
| 공학적 의사결정 | 속도 제한 설계 | 속도 제한식 사용 | 변수 혼동 |