1차시: 인간 CNC 실험
미션: 반지름 $R = 5$ cm 원을 "직선만"으로 그린다.
- Case A: 6개 점 → 정육각형
- Case B: 36개 점 → 정36각형
규칙: 일정한 속도로, 꼭짓점에서 멈추지 말고 그릴 것.
Case A:
Case B:
꼭짓점에서 손이 튀는 느낌이 더 큰 쪽:
2차시: 오차 측정 (GeoGebra)
반지름 4인 원을 그리고, 점 $n$개를 찍어 다각형 생성. 최대 현 오차를 측정.
| $n$ (분할 수) | 6 | 12 | 24 | 48 | 96 |
|---|---|---|---|---|---|
| 최대 오차 $e_n$ |
3차시: 현 오차 증명
상황: 곡률반경 $R$인 원호를 길이 $L$인 현으로 근사
현의 중점에서 원호까지 최대 거리 = $e$
1) 정확식 유도
직각삼각형에서 $d = \sqrt{R^2 - (L/2)^2}$이므로:
$e = R - d =$
2) 근사식 유도
$\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}$ (단, $x \ll 1$)를 사용하여:
$e \approx$
3) 공학 변수 (한 보간 주기 $T$, 속력 $V_s$)
$$ e \approx \frac{(V_s T)^2}{8R} $$
4차시: 실시간 보간 & 속도 제한
연쇄법칙으로 $\frac{du}{dt}$ 유도
$V_s = \frac{ds}{dt}$, $\frac{ds}{du} = |C'(u)|$를 이용:
$\frac{du}{dt} =$
속도 제한식
$e \le e_{max}$이면:
$$ V_s \le \frac{1}{T} \sqrt{8 \rho \cdot e_{max}} $$
탐구 결론
확장 질문 (탐구용)
- $e_{max}$를 절반으로 줄이면 가공시간은 얼마나 늘어날까?
- "곡률 기반 감속"과 "저크 기반 감속"은 어떤 관계가 있을까?
- 1차 vs 2차 테일러 보간의 정밀도 차이는?