1. 수업 개요: 정–반–합 구조
정 (Thesis)
중력만 받는 물체 → $y(t)$는 이차함수(자유낙하), 궤적은 포물선
반 (Antithesis)
셔틀콕 데이터는 포물선/자유낙하와 다르게 나온다 (속도가 포화)
합 (Synthesis)
공기저항 $F \propto v^2$ 모델을 세우고 데이터로 검증
2. 자유낙하: 고1 수준 유도
가정 (단순화)
- 공기저항 무시 (또는 매우 작다)
- 중력가속도 $g$는 일정
- 물체는 점 (크기 무시), 낙하는 수직 1차원
등차수열로부터 $y(t) = \frac{1}{2}gt^2$ 증명
시간을 $\Delta t$씩 잘라 $t_N = N \Delta t$라 하면:
- 가속도가 일정 $g$이면, 매 구간마다 속도 변화량은 $\Delta v = g \Delta t$
- 따라서 구간 시작 속도는 등차수열: $v_n = n g \Delta t$
$n$번째 구간에서의 이동거리:
$$ \Delta y_n = \frac{v_n + v_{n+1}}{2} \Delta t = \left(n + \frac{1}{2}\right) g (\Delta t)^2 $$전체 이동거리를 합산하면:
$$ y_N = \sum_{n=0}^{N-1} \Delta y_n = \frac{g}{2} N^2 (\Delta t)^2 = \frac{1}{2} g t^2 $$
일반해:
$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2, \quad v(t) = v_0 + gt $$
3. 셔틀콕: 제곱 저항 모델
가설 (논문 기반)
- 운동은 수직 1차원
- 중력 $mg$는 일정 (아래 방향)
- 저항력은 위 방향, 크기는 $v^2$에 비례: $F_{\text{res}} = k m v^2$
뉴턴 법칙 적용
$$ m a = m g - k m v^2 \quad \Rightarrow \quad a = g - k v^2 $$
핵심 포인트: $a$와 $v^2$의 관계가 일차함수(직선)이므로, $a$ vs $v^2$ 산점도를 그리면 직선이 나와야 합니다.
종단속도 (Terminal Velocity)
속도가 더는 증가하지 않을 때 ($a = 0$):
$$ 0 = g - k v_T^2 \quad \Rightarrow \quad v_T = \sqrt{\frac{g}{k}} $$
4. 심화: 미분방정식의 닫힌 해
(수학 동아리/심화 보고서용) 제곱 저항 모델의 쌍곡선 함수 해:
미분방정식 $\frac{dv}{dt} = g - kv^2$를 풀면:
$$ v(t) = v_T \tanh\left(\frac{g}{v_T} t\right) $$ $$ y(t) = \frac{v_T^2}{g} \ln \cosh\left(\frac{g}{v_T} t\right) $$
유도 과정: 변수분리 → $\int \frac{dv}{1 - v^2/v_T^2} = g \int dt$
→ $\text{artanh}(v/v_T) = \frac{g}{v_T} t$ → tanh 역함수
5. 실험 가이드
준비물
- 스마트폰 (60fps 이상 권장) + 삼각대
- 줄자/테이프 (벽에 세로로 붙이기)
- 낙하 물체 (쇠구슬/작은 공), 셔틀콕
- 바닥 충돌 안전장치 (매트)
- Tracker 소프트웨어
안전 수칙
- 계단실 아래 공간 통제
- 안전요원 (학생 1명) 배치
- 낙하 지점 아래에 매트 설치
- 촬영 시 초상권 주의
💡 Tracker 팁: 가속도는 미분이라 잡음이 큽니다. $y(t)$를 함수로 피팅한 뒤 미분하거나,
구간 평균/이동평균으로 완화하는 방식이 안정적입니다.
6. 평가 루브릭
| 평가 항목 | 비중 |
|---|---|
| 실험 설계 (변인 통제 명확성) | 25% |
| 데이터 처리 (그래프/피팅/추정값의 타당성) | 25% |
| 수학적 설명 (가설→식→해석의 논리성) | 25% |
| 오차 분석/확장 아이디어 (비판적 사고+창의성) | 25% |