2D 벡터 연산 심화 학습

문제 왜 $ {}^{\perp}\!\cdot $ (perp·dot) 인가?

2D 문제에서 3D 외적 $ \mathbf a \times \mathbf b $을 쓰면 $ k $축(z축) 개념이 불필요하게 개입합니다.
90° 회전 연산자 $ E $와 $ {}^{\perp}\!\cdot $ 연산을 사용하면 2D 평면 내에서 면적, 토크, 회전을 완결성 있게 설명할 수 있습니다.
정의: $ \mathbf a\,{}^{\perp}\!\cdot\,\mathbf b := a_x b_y - a_y b_x $

$ E = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \tilde{\mathbf a} = E\mathbf a = (-a_y, a_x) $

반시계 방향으로 90도 회전시키는 연산자입니다. 복소수 $ i $와 동일한 역할을 합니다.

$ \mathbf a\,{}^{\perp}\!\cdot\,\mathbf b = \det(\mathbf a, \mathbf b) $

평행사변형의 부호가 있는 면적입니다. (반시계: 양수, 시계: 음수)

임의의 벡터 $ \mathbf b $를 $ \mathbf a $와 $ \tilde{\mathbf a} $ 성분으로 분해:

$$ \mathbf b = \cos\varphi\,\mathbf a + \sin\varphi\,\tilde{\mathbf a} $$

여기서 $ \sin\varphi = \dfrac{\mathbf a\,{}^{\perp}\!\cdot\,\mathbf b}{\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|} $ 입니다.

Shoelace Formula (다각형 면적) $$ A = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \mathbf v_i\,{}^{\perp}\!\cdot\,\mathbf v_{i+1} $$

정점이 반시계 방향으로 나열되어 있을 때 양수 면적을 줍니다.

Lie Algebra $\mathfrak{so}(2)$

2D 회전군 생성자 $ E $는 $ [E, E] = 0 $을 만족하며, 이는 복소평면 회전과 동형입니다.

▶ (A) 회전 행렬의 지수 맵

$ e^{\varphi E} = \sum \frac{(\varphi E)^n}{n!} $.
$ E^2 = -I $ 성질을 이용하면 테일러 급수가 $ (\cos\varphi)I + (\sin\varphi)E $로 귀결됩니다.

▶ (B) 토크의 스칼라화

$ \tau = \|\mathbf r\| \|\mathbf F\| \sin\theta $.
이는 정확히 $ \mathbf r\,{}^{\perp}\!\cdot\,\mathbf F $의 정의와 일치합니다.