공학과 물리학을 읽는 수학

커피잔 속 빛의 무늬

Caustic Curve 탐구

일상의 현상에서 수학적 원리를 발견합니다.

현상 관찰: 커피잔 속 빛의 무늬

스마트폰 플래시를 이용해 관찰해 보세요.

관찰한 무늬의 특징은 무엇인가요?

어떤 모양과 비슷한가요?
왜 이런 모양이 생길까요?
무늬의 뾰족한 부분은 왜 생길까요?

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문제 단순화 (모델링)

복잡한 3차원 현상을 2차원 평면 문제로 단순화합니다.

컵의 단면은 완벽한 원이다.

모든 빛은 한쪽에서 평행하게 들어온다.

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GeoGebra로 재현한 빛의 반사

GeoGebra 실습 화면을 불러오는 중...

GeoGebra 실습

우리의 증명 전략

"포락선 위의 한 점은,
아주 가까운 두 반사 광선의
교점이라고 생각할 수 있다."

👇

극한 (Limit)

Step 1: 반사 광선 방정식 유도

반사점 각도 ($\theta$):

45°

1. 컵의 단면 (반지름 1인 원) 위의 점 P:

$$ P(\cos\theta, \sin\theta) $$

2. 점 P에서의 법선은 원점을 향합니다.

평행 입사 광선(x축과 평행)의 입사각 = $ \theta $

3. 반사 법칙: 입사각 = 반사각 = $\theta$

4.

반사 광선이 x축 양의 방향과 이루는 각 = $2\theta$ (엇각 $\theta$ + 반사각 $\theta$)

5.

$$ m = \tan(2\theta) $$

6.

(점 $P(\cos\theta, \sin\theta)$를 지나고 기울기가 $m$인 직선)

$$ y - \sin\theta = \tan(2\theta)(x - \cos\theta) $$

Step 2: 포락선 방정식 증명

1.

$$ L(\theta) : x \sin(2\theta) - y \cos(2\theta) = \sin\theta $$ $$ L(\phi) : x \sin(2\phi) - y \cos(2\phi) = \sin\phi $$

2.

$$ x = \frac{\sin\phi \cos(2\theta) - \sin\theta \cos(2\phi)}{\sin(2\phi - 2\theta)} $$

3. 극한 $\lim_{\phi \to \theta}$ 계산하기 (단계별)

1. 교점 $x$의 식에서 분자와 분모를 $\phi - \theta$로 나눕니다.

$$ x(\theta) = \lim_{\phi \to \theta} \frac{\sin\phi \cos(2\theta) - \sin\theta \cos(2\phi)}{\sin(2\phi - 2\theta)} $$ $$ = \lim_{\phi \to \theta} \frac{ \frac{\sin\phi \cos(2\theta) - \sin\theta \cos(2\phi)}{\phi - \theta} }{ \frac{\sin(2(\phi - \theta))}{\phi - \theta} } $$

2. 분모의 극한을 먼저 계산합니다. ($\lim_{u \to 0} \frac{\sin(au)}{u} = a$)

$$ \lim_{\phi \to \theta} \frac{\sin(2(\phi - \theta))}{\phi - \theta} = 2 $$

3. 분자의 극한을 계산합니다. 먼저 분자를 변형합니다.
($\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$ 공식을 분자에 적용)

$$ \text{분자} = \sin\phi (1 - 2\sin^2\theta) - \sin\theta (1 - 2\sin^2\phi) $$ $$ = \sin\phi - 2\sin\phi\sin^2\theta - \sin\theta + 2\sin\theta\sin^2\phi $$ $$ = (\sin\phi - \sin\theta) - 2(\sin\phi\sin^2\theta - \sin\theta\sin^2\phi) $$ $$ = (\sin\phi - \sin\theta) - 2\sin\phi\sin\theta(\sin\theta - \sin\phi) $$ $$ = (\sin\phi - \sin\theta) + 2\sin\phi\sin\theta(\sin\phi - \sin\theta) $$ $$ = (\sin\phi - \sin\theta)(1 + 2\sin\phi\sin\theta) $$

4. 변형된 분자에 극한을 적용합니다.
(미분 계수의 정의: $\lim_{\phi \to \theta} \frac{\sin\phi - \sin\theta}{\phi - \theta} = (\sin\theta)' = \cos\theta$)

$$ \lim_{\phi \to \theta} \frac{(\sin\phi - \sin\theta)(1 + 2\sin\phi\sin\theta)}{\phi - \theta} $$ $$ = \left( \lim_{\phi \to \theta} \frac{\sin\phi - \sin\theta}{\phi - \theta} \right) \cdot \left( \lim_{\phi \to \theta} (1 + 2\sin\phi\sin\theta) \right) $$ $$ = (\cos\theta) \cdot (1 + 2\sin^2\theta) $$

5. 분자와 분모의 극한 결과를 합칩니다.

$$ x(\theta) = \frac{\cos\theta (1 + 2\sin^2\theta)}{2} = \frac{\cos\theta + 2\sin^2\theta\cos\theta}{2} $$

6. 삼각함수 공식을 이용해 식을 정리합니다.
($\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 적용)

$$ x(\theta) = \frac{\cos\theta + 2(1 - \cos^2\theta)\cos\theta}{2} $$ $$ = \frac{\cos\theta + 2\cos\theta - 2\cos^3\theta}{2} $$ $$ = \frac{3\cos\theta - 2\cos^3\theta}{2} $$

7. 3배각 공식 ($\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$)을 이용하기 위해 식을 변형합니다.

$$ x(\theta) = \frac{1}{4}(6\cos\theta - 4\cos^3\theta) $$ $$ = \frac{1}{4}(3\cos\theta + 3\cos\theta - 4\cos^3\theta) $$ $$ = \frac{1}{4}(3\cos\theta - (4\cos^3\theta - 3\cos\theta)) $$

8. 최종 결과를 얻습니다.

$$ x(\theta) = \frac{1}{4}(3\cos\theta - \cos(3\theta)) $$ $$ = \frac{3}{4}\cos\theta - \frac{1}{4}\cos(3\theta) $$

4. 같은 방식으로 최종 방정식을 얻을 수 있습니다.

$$ x(\theta) = \frac{3}{4}\cos\theta - \frac{1}{4}\cos(3\theta) $$ $$ y(\theta) = \frac{3}{4}\sin\theta - \frac{1}{4}\sin(3\theta) $$

결론: 무늬의 정체

"에피사이클로이드 (Epicycloid)"

우리가 유도한 매개변수 방정식은
큰 원(반지름 1/2)의 바깥을 작은 원(반지름 1/4)이 구를 때
작은 원 위의 한 점이 그리는 자취와 정확히 일치합니다.

$$ x(t) = \frac{3}{4}\cos(t) - \frac{1}{4}\cos(3t) $$ $$ y(t) = \frac{3}{4}\sin(t) - \frac{1}{4}\sin(3t) $$

심화 탐구

여러분만의 새로운 질문에 도전해 보세요.

[질문 예시 1] 컵의 모양이 포물선이라면? (위성 안테나)

[질문 예시 2] 빛이 평행하지 않고 한 점에서 나온다면? (전구)

[질문 예시 3] 컵 안에 물이 차 있다면? (빛의 굴절)

[질문 예시 4] 2차원이 아닌 3차원 공간이라면?

오늘의 여정

관찰 (호기심) → 단순화 (가정) → 모델링 (GeoGebra)
↓
증명 (미적분) → 결론 (Epicycloid) → 심화 탐구