게임 플레이
H
T
현재 상금
0원
20 = 0원
게임 규칙
| 시행 횟수 (n) | 결과 예시 | 확률 | 상금 |
|---|---|---|---|
| 1 | H | 1/2 = 50% | 2원 |
| 2 | TH | 1/4 = 25% | 4원 |
| 3 | TTH | 1/8 = 12.5% | 8원 |
| 4 | TTTH | 1/16 = 6.25% | 16원 |
| n | Tn-1H | (1/2)n | 2n원 |
📐 기대값 계산
E[X] = Σ (2ⁿ × 1/2ⁿ) = Σ 1 = 1 + 1 + 1 + ... = ∞
대규모 시뮬레이션
0
총 시행 횟수
0
평균 상금
0
중앙값
0
최대 상금
∞
이론적 기대값
시뮬레이션 결과 분석
기대효용 이론: 역설의 해결
다니엘 베르누이는 사람들이 금액의 절대값이 아닌 효용(Utility)을 기준으로 의사결정한다고 제안했습니다. 효용함수를 적용하면 무한한 기대값이 유한한 "공정 가격"으로 바뀝니다.
위험 중립
u(x) = x
공정 가격
∞
로그 효용 (베르누이)
u(x) = ln(x)
공정 가격
4.00원
제곱근 효용
u(x) = √x
공정 가격
5.83원
거듭제곱 효용
u(x) = x0.5
공정 가격
5.83원
🔢 로그 효용 기대값 증명
E[ln(X)] = Σ ln(2ⁿ) × (1/2)ⁿ = ln(2) × Σ n/2ⁿ = ln(2) × 2 = 2ln(2) ≈ 1.386
확실성 등가: e2ln(2) = eln(4) = 4원
효용함수 시각화
탐구 결론
1
기대값의 한계
수학적 기대값(무한대)만으로는 인간의 실제 의사결정을 설명할 수 없습니다.
2
효용 이론의 유효성
로그 효용함수를 적용하면 공정 가격이 약 4원으로 도출되어 현실적인 지불 의사와 유사해집니다.
3
시뮬레이션의 통찰
대부분의 결과(75%)가 4원 이하에 집중되며, 천문학적 상금은 극히 드뭅니다. 누적 평균은 수렴하지 않고 계속 증가합니다.